侧边栏壁纸
博主头像
coydone博主等级

记录学习,分享生活的个人站点

  • 累计撰写 306 篇文章
  • 累计创建 51 个标签
  • 累计收到 0 条评论

目 录CONTENT

文章目录

B树和B+树

coydone
2021-06-13 / 0 评论 / 0 点赞 / 377 阅读 / 4,733 字 / 正在检测是否收录...
温馨提示:
本文最后更新于 2022-05-02,若内容或图片失效,请留言反馈。部分素材来自网络,若不小心影响到您的利益,请联系我们删除。

B树

B树的定义

B树是一种树状数据结构,它能够存储数据、对其进行排序并允许以 O(logn) 的时间复杂度进行查找、顺序读取、插入和删除等操作。

用阶定义B树

B树也称B-树,它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数,阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点,一般用字母m表示阶数。当m取2时,就是我们常见的二叉搜索树。

一颗m阶的B树定义如下:

  1. 每个结点最多有m-1个关键字。

  2. 根结点最少可以只有1个关键字。

  3. 非根结点至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字(向上取整)。

  4. 每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列,每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它,而右子树中的所有关键字都大于它。

  5. 所有叶子结点都位于同一层,或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。

上图是一颗阶数为4的B树。在实际应用中的B树的阶数m都非常大(通常大于100),所以即使存储大量的数据,B树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字(key)和关键字对应的数据(data),以及孩子结点的指针。我们将一个key和其对应的data称为一个记录。在数据库中我们将B树(和B+树)作为索引结构,可以加快查询速速,此时B树中的key就表示键,而data表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

用度定义B树

针对上面的5点,再阐述下:B树中每一个结点能包含的关键字(如之前上面的D H和Q T X)数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数(算法导论中文版上译作度数,最小度数即内结点中结点最小孩子数目)t(t>=2)表示。

  1. 每个非根的内结点至少有t个子女,每个非根的结点必须至少含有t-1个关键字,如果树是非空的,则根结点至少包含一个关键字;

  2. 每个结点可包含至多2t-1个关键字。所以一个内结点至多可有2t个子女。如果一个结点恰好有2t-1个关键字,我们就说这个结点是满的。

t度的B树就是2t阶的B树( t=2m )因为t度的B树节点最多有2t个孩子,2t-1个关键字;m阶的B树最多有m个孩子,m-1个关键字。用度定义B树,分割会先剔除t−1处的结点。

演示网页:https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BTree.html

B树的插入

插入操作是指插入一条记录,即(key, value)的键值对。如果B树中已存在需要插入的键值对,则用需要插入的value替换旧的value。若B树不存在这个key,则一定是在叶子结点中进行插入操作。

  1. 根据要插入的key的值,找到叶子结点并插入。

  2. 判断当前结点key的个数是否小于等于m-1,若满足则结束,否则进行第3步。

  3. 以结点中间的key为中心分裂成左右两部分,然后将这个中间的key插入到父结点中,这个key的左子树指向分裂后的左半部分,这个key的右子支指向分裂后的右半部分,然后将当前结点指向父结点,继续进行第3步。

以5阶B树为例,在5阶B树中,结点最多有4个key,最少有2个key。

a)在空树中插入39,此时根结点就一个key,此时根结点也是叶子结点。

b)继续插入22,97和41,根结点此时有4个key

c)继续插入53

插入后超过了最大允许的关键字个数4,所以以key值为41为中心进行分裂,结果如下图所示,分裂后当前结点指针指向父结点,满足B树条件,插入操作结束。当阶数m为偶数时,需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key,那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

d)依次插入13,21,40,同样会造成分裂,结果如下图所示。

在插入40时,此时左子树关键字个数5超出,其中间值22向上分裂。

e)依次插入30,27,33(此时中间的子树向上分裂);36,35,34(插入34时,36向上分裂);24,29,结果如下图所示。

f)插入key值为26的记录,插入后的结果如下图所示。

当前结点需要以27为中心分裂,并向父结点进位27,然后当前结点指向父结点,结果如下图所示。

进位后导致当前结点(即根结点)也需要分裂,分裂的结果如下图所示。

分裂后当前结点指向新的根,此时无需调整。

g)最后再依次插入key为17,28,29,31,32的记录,结果如下图所示。

在实现B树的代码中,为了使代码编写更加容易,我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为m而非m-1,这样方便底层的结点由于分裂向上层插入一个记录时,上层有多余的位置存储这个记录。同时,每个结点还可以存储它的父结点的引用,这样就不必编写递归程序。

一般来说,对于确定的m和确定类型的记录,结点大小是固定的,无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况,比如key为28、29所在的结点,还有2个key的位置没有使用,但是已经不可能继续在插入任何值了,因为这个结点的前序key是27,后继key是30,所有整数值都用完了。所以如果记录先按key的大小排好序,再插入到B树中,结点的使用率就会很低,最差情况下使用率仅为50%。

B树的删除

删除操作是指,根据key删除记录,如果B树中的记录中不存对应key的记录,则删除失败。

1、如果当前需要删除的key位于非叶子结点上,则用后继key覆盖要删除的key,然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上,这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步。

2、该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1,结束删除操作,否则执行第3步。

3、如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m/2)-1,则父结点中的key下移到该结点,兄弟结点中的一个key上移,删除操作结束。

否则,将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并,形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针,指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点,重复上第2步。

有些结点它可能即有左兄弟,又有右兄弟,那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

B+树

演示网站:https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html

B+树是对B树的一种变形树,它与B树的差异在于:非叶结点仅具有索引作用,也就是说,非叶子结点只存储key,不存储value;树的所有叶结点构成一个有序链表,可以按照key排序的次序遍历全部数据。

B+树的定义

各种资料上B+树的定义各有不同,一种定义方式是关键字个数和孩子结点个数相同。维基百科上所定义的方式,即关键字个数比孩子结点个数小1,这种方式是和B树基本等价的。上图就是一颗阶数为4的B+树。

除此之外B+树还有以下的要求。

  1. B+树包含2种类型的结点:内部结点(也称索引结点)和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点,也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。

  2. B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据,只用于索引,所有数据(或者说记录)都保存在叶子结点中。

  3. m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字(或者说内部结点最多有m个子树),阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。

  4. 内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列,对于内部结点中的一个key,左树中的所有key都小于它,右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。

  5. 每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针,叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

B+树的插入

1、若为空树,创建一个叶子结点,然后将记录插入其中,此时这个叶子结点也是根结点,插入操作结束。

2、针对叶子类型结点:根据key值找到叶子结点,向这个叶子结点插入记录。插入后,若当前结点key的个数小于等于m-1,则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点,左叶子结点包含前m/2个记录,右结点包含剩下的记录,将第m/2+1个记录的key进位到父结点中(父结点一定是索引类型结点),进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后执行第3步。

3、针对索引类型结点:若当前结点key的个数小于等于m-1,则插入结束。否则,将这个索引类型结点分裂成两个索引结点,左索引结点包含前(m-1)/2个key,右结点包含m-(m-1)/2个key,将第m/2个key进位到父结点中,进位到父结点的key左孩子指向左结点,进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点,然后重复第3步。

下面是一颗5阶B树的插入过程,5阶B数的结点最少2个key,最多4个key。

a)空树中插入5;依次插入8,10,15;插入16,超过了关键字的个数限制,所以要进行分裂。在叶子结点分裂时,分裂出来的左结点2个记录,右边3个记录,中间key成为索引结点中的key,分裂后当前结点指向了父结点(根结点)。

还有另一种分裂方式,给左结点3个记录,右结点2个记录,此时索引结点中的key就变为15。

b)插入17

c)插入18,当前结点的关键字个数大于5,进行分裂。分裂成两个结点,左结点2个记录,右结点3个记录,关键字16进位到父结点(索引类型)中,将当前结点的指针指向父结点。

d)插入若干数据后

e)在上图中插入7

当前结点的关键字个数超过4,需要分裂。左结点2个记录,右结点3个记录。分裂后关键字7进入到父结点中,将当前结点的指针指向父结点。

当前结点的关键字个数超过4,需要继续分裂。左结点2个关键字,右结点2个关键字,关键字16进入到父结点中,将当前结点指向父结点。

B+树的删除

如果叶子结点中没有相应的key,则删除失败。否则执行下面的步骤:

1)删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1,删除操作结束,否则执行第2步。

2)若兄弟结点key有富余(大于Math.ceil(m-1)/2 – 1),向兄弟结点借一个记录,同时用借到的key替换父结(指当前结点和兄弟结点共同的父结点)点中的key,删除结束。否则执行第3步。

3)若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点,并删除父结点中的key(父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针,正好指向这个新的叶子结点),将当前结点指向父结点(必为索引结点),执行第4步(第4步以后的操作和B树就完全一样了,主要是为了更新索引结点)。

4)若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1,则删除操作结束。否则执行第5步

5)若兄弟结点有富余,父结点key下移,兄弟结点key上移,删除结束。否则执行第6步

6)当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点,重复第4步。

注意,通过B+树的删除操作后,索引结点中存在的key,不一定在叶子结点中存在对应的记录。

B树与B+树对比

B树的优点在于:由于B树的每一个节点都包含key和value,因此我们根据key查找value时,只需要找到key所在的位置,就能找到value,但B+树只有叶子结点存储数据,索引每一次查找,都必须一次一次,一直找到树的最大深度处,也就是叶子结点的深度,才能找到value。

B+树的优点在于:

  • 由于B+树在非叶子结点上不包含真正的数据,只当做索引使用,因此在内存相同的情况下,能够存放更多的key。

  • B+树的叶子结点都是相连的,因此对整棵树的遍历只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连,所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。

0

评论区