B树

B树的定义

B树是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以 O(logn) 的时间复杂度进行查找、顺序读取、插入和删除等操作。

用阶定义B树

B树也称B-树，它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗B树时需要指定它的阶数，阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点，一般用字母m表示阶数。当m取2时，就是我们常见的二叉搜索树。

一颗m阶的B树定义如下：

每个结点最多有m-1个关键字。
根结点最少可以只有1个关键字。
非根结点至少有Math.ceil(m/2)-1个关键字（向上取整）。
每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。
所有叶子结点都位于同一层，或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。

上图是一颗阶数为4的B树。在实际应用中的B树的阶数m都非常大（通常大于100），所以即使存储大量的数据，B树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字（key）和关键字对应的数据（data），以及孩子结点的指针。我们将一个key和其对应的data称为一个记录。在数据库中我们将B树（和B+树）作为索引结构，可以加快查询速速，此时B树中的key就表示键，而data表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。

用度定义B树

针对上面的5点，再阐述下：B树中每一个结点能包含的关键字（如之前上面的D H和Q T X）数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数（算法导论中文版上译作度数，最小度数即内结点中结点最小孩子数目）t（t>=2）表示。

每个非根的内结点至少有t个子女，每个非根的结点必须至少含有t-1个关键字，如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字；
每个结点可包含至多2t-1个关键字。所以一个内结点至多可有2t个子女。如果一个结点恰好有2t-1个关键字，我们就说这个结点是满的。

t度的B树就是2t阶的B树（ t=2m ）因为t度的B树节点最多有2t个孩子，2t-1个关键字；m阶的B树最多有m个孩子，m-1个关键字。用度定义B树，分割会先剔除t−1处的结点。

演示网页：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BTree.html

B树的插入

插入操作是指插入一条记录，即（key, value）的键值对。如果B树中已存在需要插入的键值对，则用需要插入的value替换旧的value。若B树不存在这个key，则一定是在叶子结点中进行插入操作。

根据要插入的key的值，找到叶子结点并插入。
判断当前结点key的个数是否小于等于m-1，若满足则结束，否则进行第3步。
以结点中间的key为中心分裂成左右两部分，然后将这个中间的key插入到父结点中，这个key的左子树指向分裂后的左半部分，这个key的右子支指向分裂后的右半部分，然后将当前结点指向父结点，继续进行第3步。

以5阶B树为例，在5阶B树中，结点最多有4个key，最少有2个key。

a）在空树中插入39，此时根结点就一个key，此时根结点也是叶子结点。

b）继续插入22，97和41，根结点此时有4个key

c）继续插入53

插入后超过了最大允许的关键字个数4，所以以key值为41为中心进行分裂，结果如下图所示，分裂后当前结点指针指向父结点，满足B树条件，插入操作结束。当阶数m为偶数时，需要分裂时就不存在排序恰好在中间的key，那么我们选择中间位置的前一个key或中间位置的后一个key为中心进行分裂即可。

d）依次插入13，21，40，同样会造成分裂，结果如下图所示。

在插入40时，此时左子树关键字个数5超出，其中间值22向上分裂。

e）依次插入30，27，33（此时中间的子树向上分裂）；36，35，34（插入34时，36向上分裂）；24，29，结果如下图所示。

f）插入key值为26的记录，插入后的结果如下图所示。

当前结点需要以27为中心分裂，并向父结点进位27，然后当前结点指向父结点，结果如下图所示。

进位后导致当前结点（即根结点）也需要分裂，分裂的结果如下图所示。

分裂后当前结点指向新的根，此时无需调整。

g）最后再依次插入key为17，28，29，31，32的记录，结果如下图所示。

在实现B树的代码中，为了使代码编写更加容易，我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为m而非m-1，这样方便底层的结点由于分裂向上层插入一个记录时，上层有多余的位置存储这个记录。同时，每个结点还可以存储它的父结点的引用，这样就不必编写递归程序。

一般来说，对于确定的m和确定类型的记录，结点大小是固定的，无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况，比如key为28、29所在的结点，还有2个key的位置没有使用，但是已经不可能继续在插入任何值了，因为这个结点的前序key是27，后继key是30，所有整数值都用完了。所以如果记录先按key的大小排好序，再插入到B树中，结点的使用率就会很低，最差情况下使用率仅为50%。

B树的删除

删除操作是指，根据key删除记录，如果B树中的记录中不存对应key的记录，则删除失败。

1、如果当前需要删除的key位于非叶子结点上，则用后继key覆盖要删除的key，然后在后继key所在的子支中删除该后继key。此时后继key一定位于叶子结点上，这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步。

2、该结点key个数大于等于Math.ceil(m/2)-1，结束删除操作，否则执行第3步。

3、如果兄弟结点key个数大于Math.ceil(m/2)-1，则父结点中的key下移到该结点，兄弟结点中的一个key上移，删除操作结束。

否则，将父结点中的key下移与当前结点及它的兄弟结点中的key合并，形成一个新的结点。原父结点中的key的两个孩子指针就变成了一个孩子指针，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第2步。

有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

B+树

演示网站：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html

B+树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于：非叶结点仅具有索引作用，也就是说，非叶子结点只存储key，不存储value；树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照key排序的次序遍历全部数据。

B+树的定义

各种资料上B+树的定义各有不同，一种定义方式是关键字个数和孩子结点个数相同。维基百科上所定义的方式，即关键字个数比孩子结点个数小1，这种方式是和B树基本等价的。上图就是一颗阶数为4的B+树。

除此之外B+树还有以下的要求。

B+树包含2种类型的结点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。根结点本身即可以是内部结点，也可以是叶子结点。根结点的关键字个数最少可以只有1个。
B+树与B树最大的不同是内部结点不保存数据，只用于索引，所有数据（或者说记录）都保存在叶子结点中。
m阶B+树表示了内部结点最多有m-1个关键字（或者说内部结点最多有m个子树），阶数m同时限制了叶子结点最多存储m-1个记录。
内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

B+树的插入

1、若为空树，创建一个叶子结点，然后将记录插入其中，此时这个叶子结点也是根结点，插入操作结束。

2、针对叶子类型结点：根据key值找到叶子结点，向这个叶子结点插入记录。插入后，若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点，左叶子结点包含前m/2个记录，右结点包含剩下的记录，将第m/2+1个记录的key进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的key左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第3步。

3、针对索引类型结点：若当前结点key的个数小于等于m-1，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前(m-1)/2个key，右结点包含m-(m-1)/2个key，将第m/2个key进位到父结点中，进位到父结点的key左孩子指向左结点，进位到父结点的key右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第3步。

下面是一颗5阶B树的插入过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

a）空树中插入5；依次插入8，10，15；插入16，超过了关键字的个数限制，所以要进行分裂。在叶子结点分裂时，分裂出来的左结点2个记录，右边3个记录，中间key成为索引结点中的key，分裂后当前结点指向了父结点（根结点）。